الأعداد الحقيقية

• مجموعة الأعداد الحقيقية:



-سبق وأن علمنا ان مجموعة الأعداد الطبيعية جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة ومجموعة الاعداد الصحيحة جزء من مجموعة الاعداد النسبية.
-مجموعة الأعداد الحقيقية تتكون من مجموعة الأعداد النسبية و مجموعة الأعداد الغير نسبية.
ويرمز لها بالرمز: (ح).

خصائص الأعداد الحقيقية.

خصائص الأعداد الحقيقية:

• الأعداد الطبيعية (ط):وهي الأعداد  التي تكون كما يلي "....1,2,3,4,5". 
• الأعداد الكلية (ك): وهي الأعداد الطبيعيه بالإضافة إلى الصفر فيكون ".....0,1,2,3,4,5".
• الأعداد الصحيحة (ص): وهي شاملة للأعداد الكلية بالإضافة إلى الأعداد السالبة. 
• الأعداد النسبية (ن): وهي العدد أو الأعداد التي تتكون من بسط ومقام، ولكن بشرط ألاّ يساوي قيمة المقام للصفر. 
• الأعداد غير النسبية ( ن`): وهي الأعداد التي ليست منتهية وليست دورية، وهي الأعداد التي تكون تحت الجذر إن كان لا يمكن إيجاد جذرها.

خواص جمع الأعداد الحقيقية.

⇦مجموع كل عددين حقيقيين هو عدد حقيقي.

  أي أن مجموعة الأعداد الحقيقية ح مغلقة تحت عملية الجمع. 

• الإنغلاق: إذا كانت أ ∈ ح∊، ب ∈ ح فإن ( أ+ب ) ∈ ح .

فمثلا: كل من 2+3 ، (2√)+1 ، (5√)+(-2) عدد حقيقي.

• الإبدال: إذا كانت أ ∈ ح ، ب ∈ ح فإن أ+ب = ب+أ .

فمثلا: (3√)+2 = 2+(3√) ، (5√)-3 = 3-(5√) .

• الدمج: إذا كانت أ∈ح ، ب∈ح ، ج∈ح 

             فإن ( أ+ب )+ج=أ+( ب+ج)=أ+ب+ج .

فمثلا: [3+(2√)]+5=3+[( 2√)+5 ]  (خاصية الدمج)

                          =3+[ 5+( 2√)]  (خاصية الإبدال)

                          =[5+3]+( 2√)   خاصية الدمج

                          =8+( 2√) .

• الصفر هو العنصر المحايد الجمعي: 

    إذا كان أ∈ح فإن أ+0=0+أ .

فمثلا: 0+(5√)=(5√)+0=(5√) .

• وجود معكوس جمعي لكل عدد حقيقي:

   أ∈ح يوجد (-أ )∈ح حيث أ+(-أ )=(-أ )+أ=0 .

فمثلا: (3√)∈ح ، معكوسه الجمعي ( 3√-)∈ح

        حيث ( 3√)+( 3√-)=( 3√-)+( 3√)=0 .

خواص ضرب الأعداد الحقيقية.

• الإنغلاق:  إذا كانت أ∈ح،ب∈ح فإن أ×ب∈ح .

         مجموعة الأعداد الحقيقية مغلقة تحت عملية الضرب.
أي أن حاصل ضرب كل عددين حقيقيين هو عدد حقيقي.

مثلا: 5×(2√)=(2√5)∈ح

      (2√3)×5=( 2√15 )∈ح 

• الإبدال: لكل عددين حقيقيين أ،ب يكون أ×ب = ب×أ .

مثلا: (2√)×3=3×(2√)=(2√3)

• الدمج: لكل ثلاثة أعداد حقيقية أ، ب، ج يكون 

         (أ×ب)×ج = أ×(ب×ج) = أ×ب×ج .

مثلا: (2√)×[5×(2√)]=[(2√)×5]×(2√)

     =[5×(2√)]×(2√)=5×(2√)×(2√)=5×2=10 

• الواحد هو العنصر المحايد الضربي: 

      لكل عدد حقيقي أ يكون أ×1=1×أ=أ .

مثلا: (5√2)×1=1×(5√2)=(5√2) 

• وجود معكوس ضربي لكل عدد حقيقي ≠ الصفر:

     لكل عدد حقيقي أ≠صفر يوجد عدد حقيقي ( 1\أ).

مثلا: المعكوس الضربي للعدد [(3√)\2] هو [2\(3√)]
 حيث [(3√)\2]×[2\(3√)]=[2\(3√)]×[(3√)\2]=1 

توزيع الضرب علي الجمع.

• توزيع الضرب علي الجمع:

⇦لأي ثلاثة أعداد حقيقية أ، ب، ج يكون:
     أ×(ب+ج) = (أ+ب)×(أ+ج)=أب+أج .
     (أ+ب)×ج=( أ×ج )+( ب×ج )=أج+أب .

الإختبار :-

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScWpiT0OQNlti9QBfJyBdjmBmcpHoQAYtJ0Bv3Z9RdEpZiqkA/viewform